Nombre de Fibonacci

En matemàtiques, els nombres de Fibonacci, sovint denotats F_n, formen una sèrie, anomenada successió de Fibonacci, tal que cada nombre de la sèrie és la suma dels dos nombres anteriors, prenent com a valors inicials de la sèrie 0 i 1. És a dir,^[1] $${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}$$ i $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ per n > 1.

La seqüència comença:^[2] $${\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots }$$

Si se segueixen definicions més antigues, el valor ${\displaystyle F_{0}=0}$ és omès. Així doncs, la seqüència comença amb ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,}$ i la relació de recurrència ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ és vàlida per n > 2.^[3][4] En la seva definició original, Fibonacci començava la seqüència amb ${\displaystyle F_{1}=1,F_{2}=2}$^[5]

Els nombres de Fibonacci estan estretament relacionats amb la secció àuria: la fórmula de Binet expressa l'nèssim nombre de Fibonacci en termes de n i la secció àuria, i implica que la raó de dos nombres consecutius de Fibonacci tendeix a la secció àuria a mesura que n augmenta.

Els nombres de Fibonacci duen el nom del matemàtic italià Leonardo de Pisa, posteriorment conegut com Fibonacci. En el seu llibre de 1202 Liber Abaci, Fibonacci va introduir la sèrie a les matemàtiques europees occidentals,^[6] tot i que la seqüència ja havia estat descrita prèviament a l'Índia,^[7][8][9] al voltant de l'any 200 abans de Crist en una obra de Pingala quan enumerava possibles patrons en la poesia en sànscrit formats per síl·labes de dues longituds diferents.

Els nombres de Fibonacci apareixen de forma inesperada en les matemàtiques, fins a tal punt que hi ha un revista sencera dedicada al seu estudi, la Fibonacci Quarterly. Les aplicacions dels nombres de Fibonacci inclouen algorismes computacionals com la tècnica de cerca de Fibonacci i l'estructura de dades del monticle de Fibonacci, i grafs anomenats cubs de Fibonacci, que serveixen per interconnectar sistemes paral·lels i distribuïts.

També apareixen en patrons de la natura, com ara en el brancatge dels arbres, la distribució de les fulles del tronc, els brots de fruits en les pinyes, la floració de les carxoferes, l'obertura de les falgueres, i la distribució de les bràctees de les pinyes.

Els nombres de Fibonacci també estan molt relacionats amb els nombres de Lucas ${\displaystyle L_{n}}$, en el sentit que els nombres de Fibonacci i els de Lucas formen una parella completa de sèries de Lucas: ${\displaystyle U_{n}(1,-1)=F_{n}}$ and ${\displaystyle V_{n}(1,-1)=L_{n}}$.